Analyse de complexité d'enveloppes convexes aléatoires

In this thesis, we give some new results about the average size of convex hulls made of points chosen in a convex body. This size is known when the points are chosen uniformly (and independently) in a convex polytope or in a "smooth" enough convex body. This average size is also known if the points are independently chosen according to a centered Gaussian distribution. In the first part of this thesis, we introduce a technique that will give new results when the points are chosen arbitrarily in a convex body, and then noised by some random perturbations. This kind of analysis, called smoothed analysis, has been initially developed by Spielman and Teng in their study of the simplex algorithm. For an arbitrary set of point in a ball, we obtain a lower and a upper bound for this smoothed complexity, in the case of uniform perturbation in a ball (in arbitrary dimension) and in the case of Gaussian perturbations in dimension 2. The asymptotic behavior of the expected size of the convex hull of uniformly random points in a convex body is polynomial for a "smooth" body and polylogarithmic for a polytope. In the second part, we construct a convex body so that the expected size of the convex hull of points uniformly chosen in that body oscillates between these two behaviors when the number of points increases. In the last part, we present an algorithm to generate efficiently a random convex hull made of points chosen uniformly and independently in a disk. We also compute its average time and space complexity. This algorithm can generate a random convex hull without explicitly generating all the points. It has been implemented in C++ and integrated in the CGAL library.Dans cette thèse, nous donnons de nouveaux résultats sur la taille moyenne d’enveloppes convexes de points choisis dans un convexe. Cette taille est connue lorsque les points sont choisis uniformément (et indépendamment) dans un polytope convexe, ou un convexe suffisamment «lisse» ; ou encore lorsque les points sont choisis indépendamment selon une loi normale centrée. Dans la première partie de cette thèse, nous développons une technique nous permettant de donner de nouveaux résultats lorsque les points sont choisis arbitrairement dans un convexe, puis «bruités» par une perturbation aléatoire. Ce type d’analyse, appelée analyse lissée, a initialement été développée par Spielman et Teng dans leur étude de l’algorithme du simplexe. Pour un ensemble de points arbitraires dans une boule, nous obtenons une borne inférieure et une borne supérieure de cette complexité lissée dans le cas de perturbations uniformes dans une boule en dimension arbitraire, ainsi que dans le cas de perturbations gaussiennes en dimension 2. La taille de l'enveloppe convexe de points choisis uniformément dans un convexe, peut avoir un comportement logarithmique si ce convexe est un polytope ou polynomial s’il est lisse. Nous construisons un convexe produisant un comportement oscillant entre ces deux extrêmes. Dans la dernière partie, nous présentons un algorithme pour engendrer efficacement une enveloppe convexe aléatoire de points choisis uniformément et indépendamment dans un disque sans avoir à engendrer explicitement tous les points. Il a été implémenté en C++ et intégré dans la bibliothèque CGAL

Complexity analysis of random convex hulls

Dans cette thèse, nous donnons de nouveaux résultats sur la taille moyenne d’enveloppes convexes de points choisis dans un convexe. Cette taille est connue lorsque les points sont choisis uniformément (et indépendamment) dans un polytope convexe, ou un convexe suffisamment «lisse» ; ou encore lorsque les points sont choisis indépendamment selon une loi normale centrée. Dans la première partie de cette thèse, nous développons une technique nous permettant de donner de nouveaux résultats lorsque les points sont choisis arbitrairement dans un convexe, puis «bruités» par une perturbation aléatoire. Ce type d’analyse, appelée analyse lissée, a initialement été développée par Spielman et Teng dans leur étude de l’algorithme du simplexe. Pour un ensemble de points arbitraires dans une boule, nous obtenons une borne inférieure et une borne supérieure de cette complexité lissée dans le cas de perturbations uniformes dans une boule en dimension arbitraire, ainsi que dans le cas de perturbations gaussiennes en dimension 2. La taille de l'enveloppe convexe de points choisis uniformément dans un convexe, peut avoir un comportement logarithmique si ce convexe est un polytope ou polynomial s’il est lisse. Nous construisons un convexe produisant un comportement oscillant entre ces deux extrêmes. Dans la dernière partie, nous présentons un algorithme pour engendrer efficacement une enveloppe convexe aléatoire de points choisis uniformément et indépendamment dans un disque sans avoir à engendrer explicitement tous les points. Il a été implémenté en C++ et intégré dans la bibliothèque CGAL.In this thesis, we give some new results about the average size of convex hulls made of points chosen in a convex body. This size is known when the points are chosen uniformly (and independently) in a convex polytope or in a "smooth" enough convex body. This average size is also known if the points are independently chosen according to a centered Gaussian distribution. In the first part of this thesis, we introduce a technique that will give new results when the points are chosen arbitrarily in a convex body, and then noised by some random perturbations. This kind of analysis, called smoothed analysis, has been initially developed by Spielman and Teng in their study of the simplex algorithm. For an arbitrary set of point in a ball, we obtain a lower and a upper bound for this smoothed complexity, in the case of uniform perturbation in a ball (in arbitrary dimension) and in the case of Gaussian perturbations in dimension 2. The asymptotic behavior of the expected size of the convex hull of uniformly random points in a convex body is polynomial for a "smooth" body and polylogarithmic for a polytope. In the second part, we construct a convex body so that the expected size of the convex hull of points uniformly chosen in that body oscillates between these two behaviors when the number of points increases. In the last part, we present an algorithm to generate efficiently a random convex hull made of points chosen uniformly and independently in a disk. We also compute its average time and space complexity. This algorithm can generate a random convex hull without explicitly generating all the points. It has been implemented in C++ and integrated in the CGAL library